Ａ203：
盛岡までとなると、新幹線がいいですね。
盛岡まで新幹線で行きたいというのならば、株主優待券をお勧めします。
また、週末なので「土日きっぷ」が使えるのですが、東北新幹線は古川までしか使えないので、古川から先は別で買うことになり、結局26,000円ほどかかってしまいますね。
古川から先も新幹線利用となると割高になるので、古川(というか、在来線の仙台から)普通列車乗り継ぎという方法もありますが、盛岡まで普通だと遠いですね。一ノ関あたりだったらいいのですけど。

1.通常購入の場合
乗車券(大宮−盛岡)　　　　7,980円
特急券(大宮−盛岡)　　　　4,620円
　小計(片道)　　　　　　 12,600円
　合計(往復)　　　　　　 25,200円

2.株主優待券を金券ショップで購入し利用する場合
乗車券(大宮−盛岡)　　　　4,780円(株優4割引)
特急券(大宮−盛岡)　　　　2,770円(株優4割引)
JR東日本株主優待券2枚　 約3,000円
　小計(片道)　　　　　　 10,550円
　合計(往復)　　　　　　 21,100円

Ａ170：
結論から言うと、金券ショップでJR東日本の株主優待券を購入するのがいいでしょう。格安ショップは結構ありますよ。所沢、四谷、市ヶ谷規模のところならまず大丈夫です。
http://treasure.ingnet.or.jp/~treasure/business/ticket/
あたりを参考にするといいと思います。
あとは営業時間に気をつければいいでしょう。

「はやて」には仙台発着の1本を除き自由席はありませんが、満席の場合は前日から「立席特急券」が発売されます。また、盛岡以北は「特定特急券」で乗車することはできます。いずれもねだんは自由席特急券と同じです。

なお、「はつかり」ですが、東北新幹線が八戸まで延長された際、「はやて」等が登場したかわりに廃止されています。
他に盛岡からIGRいわて銀河鉄道・青い森鉄道経由というのは考えられますが、当日朝出発では時間的に間に合いませんね。
往復割引は新幹線だからというものではなく、601km以上の乗車券に適用されるものです。新秋津から本八戸でしたら601km以上ですので適用されます。
乗継割引は八戸から先の特急料金に適用されるもので、目的地が本八戸でしたら利用できません。

往復割引は往復で買うことが条件ですが、帰る日が決まっていないならば、乗車券だけ往復で買っておき、帰る日が決まっていてから特急券のみを買えば適用できます。
なお、飛行機を安く買う方法としては、特定便割引かe割があります。
金券ショップで買う方法としては株主優待券や「東北新幹線回数券」があります。
その他「えきねっと割引」があります。次のサイトを参考にするといいでしょう。
http://www.tabi.eki-net.com/waribiki/index.html
大宮−八戸なら400円引きとなるので、6,000円のところが5,600円になります。
以下、値段を比較します。

1.通常購入の場合(往復割引適用)
乗車券(新秋津−本八戸)　　　　　　8,410円(往復割引の片道分)
特急券(大宮−八戸)　　　　　　　　6,000円(指定席・通常期)
　合計　　　　　　　　　　　　　 14,410円

2.「えきねっと割引」で特急券を購入する場合(往復割引適用)
乗車券(新秋津−本八戸)　　　　　　8,410円(往復割引の片道分)
特急券(大宮−八戸)　　　　　　　　5,600円(指定席・通常期)
　合計　　　　　　　　　　　　　 14,010円

3.東北新幹線回数券を利用する場合
東北新幹線回数券(大宮−八戸)　　 14,000円
乗車券(新秋津−大宮)　　　　　　　　380円
乗車券(八戸−本八戸)　　　　　　　　180円
　合計　　　　　　　　　　　　　 14,560円

4.株主優待券を利用する場合
乗車券(新秋津−本八戸)　　　　　　5,610円(往復割引の片道分)
特急券(大宮−八戸)　　　　　　　　3,600円(指定席・通常期)
JR東日本株主優待券2枚 　　　　　約3,000円
　合計　　　　　　　　　　　　　 12,210円

やっぱり株主優待券が有利ですね。
問題は「5月末日まで有効」のため、この時期だと在庫切れという可能性があることです(残っておれば格安になっている)。

Ａ154：
東北新幹線古川以南などが16,000円で新幹線も含めて特急が乗り放題の「土・日きっぷスペシャル」というのがありまして、これが4月以降も発売されています(名称は「土・日きっぷ」)。
4月以降は指定席が４回までしか利用できなくなったり、中・高校生用が８千円になったりと変更はありますが、日曜に仙台往復でしたらこちらのほうが安いです。
ちなみに回数券ですが、以前は東京発と上野発のものが別々に発売されていて、上野発のものは1枚あたり200円安かったのですが、数年前に割引きっぷを整理したときの東京発に統合されてます。
指定席が取れず自由席の場合、やはり東京から乗らないと横並びに座れないという可能性はあります。土曜ではなく日曜発なのが救いですが…
自由席が多く着いている列車、Maxやまびこ47号(仙台止まりの1〜4号車が穴場)、Maxやまびこ107号あたりだと座れるのではないかと予想します。

Ａ144：
岩沼は東北本線と常磐線の分岐駅に相当し、列車はともに仙台方面へ向かってますので乗換えが必要です。
いわきは時刻表を見てみましたが、岩沼−大甕は特急を使わない限り、下り1本以外は乗り換えないと行けません。とはいえ、乗換えが1回増えるだけと考えるとそう苦はないかと思います(うっかり寝てしまうことさえなければいいですけどね)。
なお、値段は通常購入で3,570円ですので、金券ショップ等で「青春18きっぷ」を2回分のみ買うと2,300円で済みます。
18きっぷのばら売り等については金券ショップでも扱っているところもあります。その他、18きっぷ売買専用の掲示板も開設されていたりするので、こちらであたってみるというのもいいでしょう(金券ショップよりも安く済むかと思います)。
http://www3.big.or.jp/~ikeda/18kip/
(逆に5枚つづりのを購入し、金券ショップに持ち込む方法もありますが、時期的には端数のものを仕入れたほうがいいでしょう)

Ａ154：
東北新幹線古川以南などが16,000円で新幹線も含めて特急が乗り放題の「土・日きっぷスペシャル」というのがありまして、これが4月以降も発売されています。
4月以降は指定席が４回までしか利用できなくなったり、中・高校生用が８千円になったりと変更はあったかと思いますが、日曜に仙台往復でしたらこちらのほうが安いです。
ちなみに回数券ですが、以前は東京発と上野発のものが別々に発売されていて、上野発のものは1枚あたり200円安かったのですが、数年前に割引きっぷを整理したときの東京発に統合されてます。
指定席が取れず自由席の場合、やはり東京から乗らないと横並びに座れないという可能性はあります。土曜ではなく日曜発なのが救いですが…
自由席が多く着いている列車、Maxやまびこ47号(仙台止まりの1〜4号車が穴場)、Maxやまびこ107号あたりだと座れるのではないかと予想します。

Ａ108：
2月は青春18きっぷは使えませんので(青春18きっぷは春、夏、冬休み期間に使える)、ＪＲでしたら普通乗車券を買うといいです。また、学生でしたら学割を使うといいでしょう。期間が長いので往復では買えず、行き、かえりで各1枚が必要になります。
乗換えなんですが、仙台から普通列車でしたら東北本線で上野に出るよりも常磐線で東京へ向かい、我孫子から成田線に乗り換えたほうが安くて早くなるのでお勧めします。

乗り継ぎ時刻ですが、だいたいこんな感じです。

＜ゆき＞
仙台925→1038原ノ町1052→1207いわき1212→1337勝田1348→1525我孫子1532→1618成田1627→1642成田空港
＜かえり＞
成田空港1345→1403成田1408→1449我孫子1450→1802いわき1834→1949原ノ町1955→2107仙台
※我孫子の乗り換え時間は1分で、列車遅れ等によって間に合わないかもしれませんが、その後の列車で向かってもいわきで追いつきます。なお、乗車券は4,870円(片道・学割利用)となります。

Ａ97：
チケットは駅のみどりの窓口(最近は多くの有人駅にある)か旅行会社に行けば買えます。
どちらで買っても学割は聞きますが、東北新幹線が八戸まで開業したのに伴って一部は私鉄(IGRいわて銀河鉄道、青い森鉄道)経由となり、その間だけは効きません(JRの運賃・料金は前後で通算されます)。
寝台の種類によっても値段が異なってきますが25000円程度になります(学割があると2500円ほど安くなります)。また、2人ならデュエットという2人用B個室が普通のB寝台と同額で個室になるのでおすすめです。なお、値段は1人当たり6300円です。普通のB寝台は4人分の寝台が並んでいる車両で、個室ではないです(または4人分の個室になっているが、相部屋になる)。北斗星1･2号のほうが個室は多いのでお勧めです。他にA寝台にも2人用個室があり、車内にテレビがついていたり(車種によっては洗面台もある)、デラックスですが料金は高くなります。

参考までにB寝台利用の場合の値段を示します。

乗車券(札幌市内−東京都区内)　　　　　　　 16,080円
(IGRいわて銀河鉄道2300円、青い森鉄道660円を含む)
※学割の場合、13450円になります。
特急券(札幌−上野)　　　　　　　　　　　　  2,890円(JR部分は1,000円割引)
(IGRいわて銀河鉄道490円、青い森鉄道250円を含む)
B寝台券　　　　　　　　　　　 　　　　　　　6,300円
　合計(片道)　　　　　　　　　　　　　　   25,270円
(学割の場合、22640円です)

Ａ93：
往復同じ経路にしても割引になるほど長くないのでメリットはありません。
復路が仙台経由でしたら、往路は上野からスーパーひたちとして、乗車券は「東京都区内(常磐線)岩沼(東北本線)仙台(東北新幹線)大宮(東北本線)東京都区内」と1枚の片道乗車券(大回りきっぷ)を購入し、相馬で途中下車するのが安いでしょう(この場合、東北本線経由で埼京線にも乗れます)。
このルートを基本に後で示します株主優待券を使って買うことをお勧めします。
後にねだんを比較します。 東北新幹線の場合は東京発よりも大宮で乗車する方が得です。それは、東京発の場合、基本的に上野発の料金に200円加算されるので高くなるからです。
大宮と上野を比べた場合、距離的に大宮のほうが安くなる場合がありますが、仙台までの場合、新幹線は大宮でも上野でも4100円(自由席)ですね。
池袋でしたら往路なら始発から乗って席を確保するために東京へ出るメリットはありますが、復路の場合は上野や東京から戻るよりも、湘南新宿ラインか埼京線が使える大宮からのほうが時間的にもいいかと思います(埼京線の場合、乗り換えも楽)。
金券ショップで事前に回数券を購入する方法ですが、行き帰りで同じルートを通る場合は東北新幹線の回数券も悪くはないのですが、かえりのスーパーひたちは乗り継ぎ割引が効くのでそれを利用したほうがいいと思います(注：仙台での新幹線・在来線乗り継ぎ割引は2002年11月限りで廃止されます)。
また、ひたち回数券は現在はいわきまでしか設定されていないです。
乗車券と特急券を安くするのにはJR東日本の株主優待券を金券ショップで購入するのはいかがでしょうか。株主優待券を2枚使うと片道乗車券と特急券(1列車に限る)の両方が4割引になります。金券ショップでは1500円程度で売ってます。
大回りきっぷの場合は片道で全行程が成り立つので、2枚のみ利用すれば往復の運賃(と片道の特急料金)が4割引になります。一方、往復とも仙台経由の場合、優待券が4枚必要になります。

最後に値段を比較します。なお、新幹線を使用する場合は大宮乗換えとします。

1.ゆき、かえりとも仙台乗換えで通常購入の場合
乗車券(東京都区内−相馬)　　　　6,600円
新幹線自由席特急券(大宮−仙台)　4,100円
　小計(ゆき)　　　　　　　　　 10,700円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　　570円(乗継割引・かえりのみ)
　合計(往復)　　　　　　　　　 21,970円

2.ゆきは常磐線、かえりは仙台乗換えで通常購入の場合
乗車券　　　　　　　　　　　　　9,870円
(東京都区内−相馬−仙台−東京都区内)
自由席特急券(上野−原ノ町)　　　2,310円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　　570円(乗継割引・かえりのみ)
新幹線自由席特急券(大宮−仙台)　4,100円
　合計　　　　　　　　　　　　 16,850円

3.ゆき、かえりとも仙台乗換えで新幹線回数券を金券ショップで買う場合
新幹線指定席特急回数券　　　　　9,850円(1枚あたりの値段)
(東京都区内−仙台市内)
乗車券(南仙台−相馬)　　　　　　　820円
　小計(ゆき)　　　　　　　　　 10,670円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　1,150円(かえりのみ)
　合計(往復)　　　　　　　　　 22,490円

4.ゆきは常磐線、かえりは仙台乗換えで新幹線回数券を金券ショップで買う場合
乗車券　　　　　　　　　　　　　6,090円
(東京都区内−相馬−仙台市内)
自由席特急券(上野−原ノ町)　　　2,310円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　1,150円(かえりのみ)
新幹線指定席特急回数券　　　　　9,850円(1枚あたりの値段)
(東京都区内−仙台市内)
　合計(往復)　　　　　　　　　 19,400円

5.ゆき、かえりとも仙台乗換えで株主優待券２枚利用(片道につき)の場合
乗車券(東京都区内−相馬)　　　　3,960円(4割引)
新幹線自由席特急券(大宮−仙台)　2,460円(4割引)
　小計(ゆき)　　　　　　　　　　6,420円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　　570円(乗継割引・かえりのみ)
　合計(往復)　　　　　　　　　 13,410円(株主優待券別)
株主優待券4枚　　　　　　　　 約6,000円
　合計(往復)　　　　　　　　　 19,410円

6.ゆきは常磐線、かえりは仙台乗換えで株主優待券２枚利用の場合
　(料金分は東北新幹線に適用させる)
乗車券　　　　　　　　　　　　　5,920円(4割引)
(東京都区内−相馬−仙台−東京都区内)
自由席特急券(上野−原ノ町)　　　2,310円
自由席特急券(相馬−仙台)　　　　　570円(乗継割引・かえりのみ)
新幹線自由席特急券(大宮−仙台)　2,460円(4割引)
　合計　　　　　　　　　　　　 11,260円
株主優待券2枚　　　　　　　　 約3,000円
　合計　　　　　　　　　　　　 14,260円

やはり6の方法をお勧めいたします。
往路は10時のスーパーひたちで原ノ町乗り換えで14時過ぎ到着ですね。
原ノ町で乗り換え時間がちょっとありますが…。

Ａ85：
うーん、難しいですね。以前は確か自由席なら宇都宮発着の割引きっぷもあったのですが、昨年12月に廃止されてしまいました。
結論から言いますと、駅の旅行センターや旅行会社で乗車券を複数に分割して購入して安くするのが一番いいかなと思います。

子供料金ですが、５歳の子供は幼児となり、大人1人につき2人まで無料となります。また、０歳の子供は乳児となり無料です。
ただし、単独で指定席に座る場合は子供の運賃・料金が必要になります。
ですから指定席を取る場合、3人分の席に全員が座ることを考える必要がありますね(自由席ならこのような心配をしなくていいのですが)。

なお、帰りは仙台始発の列車を選べば座れると思うので、自由席でいいと思います。平日ですし。
きっぷの買い方ですが、駅の旅行センターや旅行会社で乗車券を複数に分割して購入する方法があります。
宇都宮から仙台市内までは4310円ですが、南福島と伊達で分割すると3,860円と、450円安くなります(駅のみどりの窓口では買えません)。
これに特急券(こちらは宇都宮−仙台)を購入すればOKです。自動改札に対応しないと思うので、有人改札口を通る必要がありますが。

あと、質問のあった往復きっぷは片道が601km以上の場合にゆき・かえりの運賃が1割引になるのですが、宇都宮から仙台では短すぎるために適用できません。
他にも株主優待券を金券ショップ等で購入する方法も記しますが、金券ショップの価格の5倍程度の運賃・料金(片道7500円程度)でないと効果が表れず、微妙なところにあります。

参考までに、大人一人片道の運賃を挙げます(往路の場合です。復路に指定席を使う場合は閑散期になるので200円引き、自由席の場合は通常期・閑散期とも通常期の510円引きです。株主優待券利用の場合は割引く前の価格からこのねだんを引きます)。

1.乗車券を分割して購入する場合
乗車券(宇都宮−南福島)　　　2,520円
乗車券(南福島−伊達)　　　　　230円
乗車券(伊達−仙台)　　　　　1,110円
新幹線特急券(宇都宮−仙台)　3,880円(通常期)
　合計　　　　　　　　　　　7,740円

2.株主優待券(2枚)を利用する場合
乗車券(宇都宮−仙台市内)　　2,580円(優待4割引)
新幹線特急券(宇都宮−仙台)　2,320円(優待4割引、通常期)
JR東日本株主優待券2枚　　 約3,000円(金券ショップなどで購入)
　合計　　　　　　　　　　　7,900円

3.通常購入の場合
乗車券(宇都宮−仙台市内)　　4,310円
新幹線特急券(宇都宮−仙台)　3,880円(通常期)
　合計　　　　　　　　　　　8,190円

この機会に分割購入に挑戦してみたらいかがでしょうか？
大人3人のみ払うとしても往復で2700円得しますよ。

Ａ46：
土日でなく、日月というところが難しいですね。
子供については、日曜の移動は2000円に値下げした「土日きっぷスペシャル」を使うのが間違いなくいいでしょう。子供の場合、月曜日は普通に乗車券を購入するのがいいですね。
ただ、きっぷは東京都区内−仙台市内と舞浜−葛西臨海公園に分けて買う方が安くなるので、土日きっぷスペシャルを購入するときに月曜日の東京都区内−仙台市内の子供の普通乗車券を買った方がいいかと思います。
ただ、大人はこれでは割高になるので、金券ショップ等で東京までの新幹線指定席特急回数券を買うのがいいかと思います。この場合の価格を示します。

・おとな
新幹線指定席特急回数券(仙台市内−東京都区内)　9,850円
乗車券(葛西臨海公園−舞浜)　　　　　　　　　　　130円
　小計(片道)　　　　　　　　　　　　　　　　　9,980円
　合計(往復)　　　　　　　　　　　　　　　　 19,960円

・こども
土日きっぷスペシャル(こども)　　　　　　　　　2,000円
新幹線特急券(東京−仙台)　　　　　　　　　　　2,400円
乗車券(東京都区内−仙台市内)　　　　　　　　　2,890円
乗車券(葛西臨海公園−舞浜)　　　　　　　　　　　 60円
　合計(往復)　　　　　　　　　　　　　　　　　7,350円

列車の部分だけ計算しましたら、大人2人、子供2人で54,620円となります。ちなみに定価だと65,360円ですから10,000円は節約できますね。
参考までに、東京ディズニーランドの値段ですが、１日でしたら大人(18歳以上)5,500円、子供(4〜11歳)3,700円です。２日でしたら「マルチパスポート」(ディズニーシーかディズニーランドか選択可能)が利用でき、大人(18歳以上)9,800円、子供(4〜11歳)6,700円です。

Ａ37：
利用する列車、経由等によって代わってきますが、新幹線と「はつかり」を乗り継いだ場合でしたら下記のとおりとなります。

　片道の値段
　乗車券(東京−青森)　　　　　 9,170円(学割、往復割引)
　新幹線特急券(東京−盛岡)　　 5,140円(自由席)
　特急券(盛岡−青森)　　　　  　 940円(自由席、乗り継ぎ割引)
　　計　　　　　　　　　　　　15,250円

往復でしたらこの倍の30,500円となります。
もちろん普通列車で往復すれば乗車券のみですみますから18,340円になりますし、寝台特急を使えば特急券が1枚になる代わりに寝台料金が加算されるので18,620円になります。
他に経由地を変更する方法もありまして、例えば行きを東北新幹線、帰りを上越新幹線ルートにするなどして大回り乗車券とすると時間はかかりますが安くなります。
(寝台特急「あけぼの」を使用する方法もありますが、青森まで途中下車せずに乗車すると東北本線経由の運賃・料金が適用されるので、弘前あたりで途中下車する必要があります)

Ａ17：
羽田へ行くならば常磐線よりも東北線で上野まで出て、京浜東北線で品川へ出て、品川から京浜急行に乗りかえるのががいいかと思います。
時間ですが、上野までは
仙台706−926郡山939−1048黒磯1054−1144宇都宮1211(快速)1340上野
となります。
宇都宮ですぐに池袋行きに接続致しますので、池袋に出てから山手線で品川に向かってもいいかと思います(品川着は似たような時間になります)