Ａ213：
バス以外で14時までに着くとなると、福島を朝に出ると仮定すると東北・東海道新幹線利用になります。乗車券は福島から601km以上あるので、通常に購入し往復割引を適用させるといいでしょう。 結論としては、この方法が一番いいかと思います。 割引きっぷも検討しましたが、東海道新幹線の回数券は割高なので安くならないです。こだま号限定の「ぷらっとこだま」を利用すれば多少安くなります。 普通車ですが安く、1ドリンク付いてきます。列車が指定されているため利用しにくい面もあります。 JR東海ツアーズのぷらっとこだまの案内ページ
http://www.jrtours.co.jp/prattokodama/
を参考にするといいでしょう。
この場合、福島から東京へは金券ショップで「東北新幹線回数券」を買うといいでしょう。

ほかには名古屋から近鉄利用という方法もいいかと思います。名古屋駅近くの金券ショップ(地下街などに何軒もあります)で、特急利用の場合は「名阪○特きっぷ」(約3,200円)、急行乗り継ぐ場合は株主優待券(名古屋では約1,400円)を買うといいでしょう。名古屋から大阪までは特急で約2時間(長瀬へは鶴橋折り返し)、急行で約3時間半(長瀬へは国分で乗り換え)です。とはいえ時間的に急行では苦しいですね。

新幹線は何しろ高いので、極力避けると安くなるのですが、当日移動となると名古屋−新大阪間など一部区間を避けるのがせいぜいです。
前日夜からとなると、夜行列車も選択肢として考えられますが、東北から関西への直通は日本海側のものしかないため、結局は東京に出てこないといけないです。
さらに東京に出るには、新幹線を使わない限り時間的に東京からの夜行は利用できません(普通乗り継ぎで「ムーンライトながら」なら1725発が最終)。
ほかに今の時期なら、青春18きっぷで普通列車に乗り継ぐという方法もあります。「ムーンライトながら」に乗るためには福島1725発となりますが…。もっとも、運賃・料金を払って新幹線を使えばもっと遅くでもOKです。
「青春18きっぷ」は春、夏、冬休みを中心に発売されている普通(快速)列車専用の乗り放題のきっぷで、5回分11500円で発売されています。18きっぷのばら売り等については金券ショップでも扱っているところもあります。その他、18きっぷ売買専用の掲示板も開設されていたりするので、こちらであたってみるというのもいいでしょう(金券ショップよりも安く済むかと思います)。
http://www3.big.or.jp/~ikeda/18kip/

「ムーンライトながら」についても研究されている方がおられますので、調べてみるといいでしょう。参考までにあげておきます。
http://hit.vis.ne.jp/nagara/

では、比較します。

１．東北新幹線・東海道新幹線で新大阪まで利用する場合(通常購入)
乗車券(福島−大阪市内)　　　　9,930円(往復割引の半額)
自由席特急券(福島−東京)　　　3,570円
自由席特急券(東京−新大阪)　　4,730円
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　 18,430円

２．東北新幹線・東海道新幹線で名古屋まで利用し(通常購入)、名古屋から近鉄
特急を利用する場合(名阪○得きっぷ)
乗車券(福島−名古屋市内)　　　8,410円(往復割引の半額)
自由席特急券(福島−東京)　　　3,570円
自由席特急券(東京−名古屋)　　3,980円
近鉄名阪○得きっぷ　　　　　　3,200円(1枚当たりの価格)
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　 19,360円
(近鉄急行利用なら17,360円となりますが、時間的に難しいですね)

３．東北新幹線・東海道新幹線で新大阪まで利用する場合(東北新幹線回数券、
ぷらっとこだま利用の場合)
東北新幹線回数券(福島−東京)　8,100円(1枚当たりの価格)
ぷらっとこだま(東京−新大阪) 10,000円
乗車券(新大阪−鶴橋)　　　　　　210円(往復割引の半額)
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　 18,510円

４．東北新幹線・東海道新幹線で名古屋まで利用し(東北新幹線回数券、
ぷらっとこだま)、名古屋から近鉄特急を利用する場合(名阪○得きっぷ)
東北新幹線回数券(福島−東京)　8,100円(1枚当たりの価格)
ぷらっとこだま(東京−名古屋)　7,900円
近鉄名阪○得きっぷ　　　　　　3,200円(1枚当たりの価格)
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　 19,400円

５．東北新幹線で東京まで出て、東京から「ムーンライトながら」を利用、大垣
から普通列車に乗り継いでいく場合(通常購入)
乗車券(福島−大阪市内)　　　　9,930円(往復割引の半額)
自由席特急券(福島−東京)　　　3,570円
指定席券(東京−大垣)　　　　　　510円(通常期)
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　 14,210円
※「青春18きっぷ」の発売時期でしたら、乗車券は往路の場合福島−横浜の乗車
券(5,250円)＋青春18きっぷ(2,300円)の7550円(計11,830円)としたほうが安くな
ります(なお、福島−横浜の乗車券についても須賀川、蒲田で分割するとさらに
520円安くなります)。

６．「青春18きっぷ」で普通列車を乗り継ぎ、東京から「ムーンライトながら」
を利用、大垣から普通列車に乗り継いでいく場合
青春18きっぷ2回分　　　　　　 4,600円(往復割引の半額)
指定席券(東京−大垣)　　　　　　510円(通常期)
近鉄(鶴橋−長瀬)　　　　　　　　200円
　合計　　　　　　　　　　　　5,310円

(参考)ギャラクシー号利用の場合
ギャラクシー号(福島駅東口−近鉄なんば駅西口)　10,805円(往復の片道分)
近鉄(近鉄難波−長瀬)　　　　　　　　　　　　　　 250円
　合計　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11,055円

以上考えると、バスや夜行を使わないのであれば通常に大阪まで往復割引購入が いいでしょう。夜行を使うと安くなりますが、東北新幹線を使ってまで夜行列車 を使うのであれば、福島から夜行バスの方がいいですね。

Ａ203：
盛岡までとなると、新幹線がいいですね。
盛岡まで新幹線で行きたいというのならば、株主優待券をお勧めします。
また、週末なので「土日きっぷ」が使えるのですが、東北新幹線は古川までしか使えないので、古川から先は別で買うことになり、結局26,000円ほどかかってしまいますね。
古川から先も新幹線利用となると割高になるので、古川(というか、在来線の仙台から)普通列車乗り継ぎという方法もありますが、盛岡まで普通だと遠いですね。一ノ関あたりだったらいいのですけど。

1.通常購入の場合
乗車券(大宮−盛岡)　　　　7,980円
特急券(大宮−盛岡)　　　　4,620円
　小計(片道)　　　　　　 12,600円
　合計(往復)　　　　　　 25,200円

2.株主優待券を金券ショップで購入し利用する場合
乗車券(大宮−盛岡)　　　　4,780円(株優4割引)
特急券(大宮−盛岡)　　　　2,770円(株優4割引)
JR東日本株主優待券2枚　 約3,000円
　小計(片道)　　　　　　 10,550円
　合計(往復)　　　　　　 21,100円

Ａ196：
はやて利用となりますね。 7月下旬ですと、ちょうど「三連休パス」が発売されているので、行程をこれに合わせると安くなります。
「三連休パス」は大人24000円、子供4000円でJR東日本全線の新幹線・特急が乗れるというものです。2003年7月の場合でしたら、7/19−21、7/25−27、7/26−28で利用できます。
往復利用でしたら大人、子供とも「三連休パス」の方が安いです。片道利用でしたら大人は「東京・青森回数券」を金券ショップで購入した方が安くなるのですが、子供は間違いなく三連休パスのほうが安いです。
なお、三連休パス前日まで(28日利用するとすれば、7/26-28なので7/25まで)に購入する必要があります。
以下、比較いたします。

1.三連休パスの場合(大人)
三連休パス　　　24,000円(普通車用)
　合計(往復)　　　　　　24,000円

2.「東京・青森回数券」を金券ショップで購入する場合
東京・青森回数券　　　　14,300円(普通車用)
　(大宮−青森)
　合計(片道)　　　　　　14,300円
　合計(往復)　　　　　　28,600円

3.JR東日本株主優待券を金券ショップで購入・利用する場合
乗車券(大宮−青森)　　　　5,920円(株優4割引)
新幹線特急券(大宮−八戸)　3,600円(株優4割引・繁忙期)
特急券(八戸−青森)　　　　　800円(乗継割引・繁忙期)
JR東日本株主優待券2枚　 約3,000円
　合計(片道)　　　　　　 13,320円
　合計(往復)　　　　　　 26,640円
※八戸−青森間を自由席とすると450円ですみます。

4.通常購入の場合　　　　　　大人　　子供
乗車券(大宮−青森)　　　　9,870円　4,930円
新幹線特急券(大宮−八戸)　6,000円　3,000円(繁忙期)
特急券(八戸−青森)　　　　1,610円　　800円(乗継割引・繁忙期)
　合計(片道)　　　　　　 17,480円　8,730円
　合計(往復)　　　　　　 32,980円 16,480円
※八戸−青森間を自由席とすると450円ですみます。

Ａ150：
数年前に割引きっぷの見直しが行われたりしており、現在は仙台市内→大阪市内、名古屋市内〜仙台市内の指定席往復割引切符は廃止されていますね。
通常に買うか、大阪−東京、東京−仙台の割引きっぷ(あるいは株主優待券利用)を利用するしかないかなという感じがします。
寝台列車を使う場合、新潟経由などで大回りをすれば安くなりますが、新潟県から仙台へ行くとなると、新潟に朝ついても仙台は昼になってしまいますね。
東京経由だと寝台料金だけでのぞみの正規料金並みになりますので、割高になってしまいます(但し、「サンライズ出雲・瀬戸」ののびのび座席で雑魚寝するのなら別です)。

1.通常購入の場合
乗車券(大阪市内−仙台市内)　　　　10,200円(往復割引の片道)
新幹線自由席特急券(新大阪−東京)　 4,730円
新幹線自由席特急券(東京−仙台)　　 4,300円
　合計(片道)　　　　　　　　　　　19,230円

2.金券ショップ等で新幹線ビジネスきっぷ、新幹線回数券を分けて買った場合
新幹線ビジネスきっぷ(大阪市内−東京都区内)　　12,160円(1枚分の値段)
東北新幹線回数券(東京都区内−仙台市内)　　　　 9,850円(1枚分の値段)
　合計(片道)　　　　　　　　　　　　　　　　　22,010円
※こちらは指定席になります

3.通常購入・サンライズ出雲・瀬戸ののびのび座席利用の場合
乗車券(大阪市内−仙台市内)　　　　10,200円(往復割引の片道)
特急券(大阪−東京)　　　　　　　　 3,340円
新幹線自由席特急券(東京−仙台)　　 4,300円
　合計(片道)　　　　　　　　　　　17,840円

あと、学割が利用できるのであれば、学割での購入がいいかと思います。(学割と往復割引は併用利用できる)
大回りもざっと運賃を調べてみましたが、9000円＋特急券もろもろという感じなので、往復にしたほうが効果的かなという感じです。

Ａ69：
乗車券は大阪市内から京都市内までの大回り乗車券がいいと思います。
経由は東海道、湖西、北陸、信越、羽越、奥羽、東北、東海道となります。
(これに西大路(京都市内の最西)から大阪までの乗車券が必要です)

はくつるは「ゴロンとシート」というものがありまして、室内は寝台車ですがカーテンやリネン類を省略した車両があります。
ざこ寝みたいな感じで、これだと指定席特急料金で乗車できますので、お得です。
カーテンやリネン類がなくてもいいというのでしたらいいですが…。

日本海の寝台は普通に買うのがいいかと思います。
ただ、特急券については、新幹線で新大阪から京都まで行けば、京都から先の特急券は乗継割引となり、特急料金が半分で済むという「裏技」があります。
(新幹線特急券840円が加算されるが、特急券3,150円→1,570円となるので、トータル740円得します)

乗車券(大阪市内−京都市内)　　21,420円
乗車券(西大路−大阪)　　　　　　 540円
新幹線特急券(新大阪−京都)　　　 840円(自由席)
特急券(京都−弘前)　　　　　　 1,570円
寝台券(B寝台)　　　　　　　　　6,300円
特急券(ゴロンとシート)　　　　 3,660円(通常期)
新幹線特急券(東京−新大阪)　　 4,730円(自由席)
　合　計　　　　　　　　　　　39,060円